Byla pro vás matematika obávaným předmětem? Cenila zuby a tasila drápy kdykoli jste usedli do školních lavic? Možná jste jen neměli štěstí na učitele, který by vám ji správně podal. Anebo vás čísla a vztahy mezi nimi naopak lákaly? Vstupte spolu s námi do světa matematiky. Je všude kolem a vítán je opravdu každý!
Ať se to může zdát neskutečné, většina věcí jde popsat nebo vyjádřit matematicky. A co ještě neumíme, nejspíš v dalších letech doženeme. My vám teď ukážeme, jak vidět svět okolo sebe jinak, než je běžné. Zabývali jste se někdy otázkou:
- Proč se někomu daří fotografovat zajímavé snímky, zatímco fotky druhého ničím nezaujmou?
- Věděli jste, že si na zahrádce můžete vypěstovat zeleninu připomínající složitý fraktál?
- Zabývali jste se někdy myšlenkou, jak změřit vzdálenost na mapě jinak než přes apku?
- Jak by vypadala krychle ementálu, ve které by se díry pravidelně opakovaly?
- A mnohé další.
Pojďme se na vše tam venku podívat trochu jinou optikou.
Jak na krásnou fotografii? Skrze zlatý řez
Zlatý řez je matematický pojem definovaný jednoduchou rovnicí s dalekosáhlou aplikací napříč obory. Běžný člověk se s ním nejčastěji setká zcela nevědomky. A to při pohledu na obraz nebo fotografii, které jej z nepochopitelného důvodu zaujmou. Na kobylku jejich kouzla je přitom možné poměrně snadno přijít – s nástupem moderních technologií dokonce lehčeji než dřív.
Napadlo vás někdy, proč se v editoru fotografií dá zobrazit mřížka 3 x 3, celkem s 9 poli a 4 průsečíky? Běžného smrtelníka by totiž nebavilo počítat rovnici zlatého řezu. A tak byla v praxi nahrazena aproximací třetin. O co jde? Zlatý řez je pokládán za ideální proporci mezi délkami. Zatímco matematicky se jeho hodnota blíží k iracionálnímu číslu 1,618 (což samo o sobě není nijak zajímavé), jeho aplikace je mnohem úchvatnější.
Vraťme se zpět k umění. Zlatý řez, potažmo pravidlo třetin říká, kam na fotografii umístit významné objekty, aby snímek působil vizuálně zajímavě. Při zobrazení mřížky v editoru fotek nebo na displejích fotoaparátů, která snímek rozdělí na třetiny, vznikají opticky nejzajímavější místa podle teorie zlatého řezu právě v jejich 4 průsečících. Kdo chce proto docílit snímku se zajímavě působící kompozicí, měl by hlavní objekty umístit právě do blízkosti těchto průsečíků.
Tip: Je-li na fotografii jen jeden významný objekt, nezáleží příliš na tom, u kterého průsečíku pomocné mřížky třetin bude. Jsou-li objekty dva, je vhodné umístit je na úhlopříčku těchto průsečíků, aby byl snímek vyvážený.
Dopravní prostředky a aritmetická posloupnost
Jezdíváte vlakem? Možná si pamatujete, že na starších tratích vydává vlak při jízdě po kolejích charakteristické zvuky td --- td --- td --- td, opakující se po stejně dlouhé době. Při jízdě autem nebo autobusem si u krajnice můžete všimnout sloupků s odrazkami rozmístěných v pravidelných intervalech a v obci po setmění spatříte ve stejných vzdálenostech od sebe rozsvícené pouliční lampy. Víte, nač se díváte? Nebo co slyšíte? Aritmetickou posloupnost! Tu netvoří nic jiného než ve stejné vzdálenosti se pravidelně opakující objekty. Úplně prosté, že?
Aritmetická posloupnost je taková posloupnost, mezi jejímiž členy je stále stejný rozdíl. Např. světla na mostě vzdálená od sebe přesně 4 metry. Také lidé čekající ve frontě v rozestupech přesně 2 metry tvoří aritmetickou posloupnost.
Matematická zelenina. Pardon, vlastně fraktální
Co je to za nesmysl? Zelenina a matematika? Kdo to kdy slyšel? Příroda je mocná čarodějka, která opět ukazuje, že všechno se vším souvisí. Ale popořadě. Od fraktálů. Tyto na pohled složité geometrické obrazce jsou tvořeny stále se opakujícími částmi. Ať se na ně díváte hodně z dálky nebo detailně zblízka, uvidíte, že jsou soběpodobné. I jejich nejmenší díl (fraktál) je přesným obrazem celku.
Nejjednodušším a asi nejznámějším fraktálem je Kochova vločka (vzniklá z Kochovy křivky). Ta má podobu rovnostranného trojúhelníku, z jehož každé strany opět vyrůstá další stejný rovnostranný trojúhelník, ale menší. Když bychom zaostřili ještě víc, uvidíme, že i z tohoto nového malého trojúhelníku vyrůstají trojúhelníčky ještě menší. A tak dále.
Nekonečným členěním Kochovy křivky vznikne Kochova vločka – složitý obrazec s konečným obsahem, ale nekonečným obvodem. A velmi jednoduchou, rekurzivně se opakující, základní strukturou.
Díky počítačům můžeme vygenerovat fraktální obrazce vpravdě úžasné. Raději ale pojďme do přírody. Fraktály jsou i tam. Příkladem přírodního fraktálu je třeba strom. Jednotlivé větve jsou podobné celé dřevině a jak roste, vyrůstají z ní další a další větvičky obalující se listy… Jiným příkladem jsou sněhové vločky, lidmi neupravené delty řek, krevní řečiště a mnohé další.
Ostatně… jeden takový krásný fraktál si můžete rovnou vypěstovat. Jedná se o pozoruhodnou „fraktální“ zeleninu Romanesko (broccolo romanesco). Kromě bohatého zdroje vitaminu C, kyseliny listové a karotenu má podobu přírodního fraktálu s logaritmickou spirálou podle zlatého řezu. Nevěříte? Jen se na internetu podívejte na její snímky!
Jak daleká je cesta tvá?
Letíte-li letadlem, cesty pod vámi se zdají být jaksi… krátké. Nebo alespoň ne tak dlouhé jako když po nich jedete autem. Jak aeroplán nabírá výšku, silnice dole postupně mizí, až se po chvíli ztratí úplně. Je to podobné, jako když se díváte na internetové mapy. Lze se v nich oddálit nebo přiblížit. Jak už většího zoomu nejde docílit, můžete sednout na kolo a trasu si prošlápnout. Nebo se po ní projít.
A teď si představte, že se zmenšíte do podoby mravence. I nepatrná překážka, kterou byste coby člověk ani nevnímali, vás donutí cestu mírně pozměnit. Obejít. Tím se délka vaší trasy ale přirozeně prodlouží! Jak by to pak dopadlo, kdybyste se zmenšili na úroveň mikroba?
Nebo z jiného soudku. Věděli jste, že má mořské pobřeží proměnlivou délku? Ten samý úsek bude různě dlouhý v závislosti na tom, z jaké vzdálenosti jej změříte. Budete ignorovat malé výčnělky pevniny nebo si každý výběžek obejdete? A co kdybyste se zmenšili na velikost kraba a poctivě si obešli každý kamínek? Délka pobřeží bude opět jiná!
Délka trasy závisí na použitém měřítku. Opět tu mluvíme o objektu s fraktální strukturou. Takové jdou dnes modelovat pomocí stochastických fraktálů.
Nekonečně děrovaný
Představte si jednobarevný čtvercový koberec. Chcete jej ozvláštnit, a tak jej pomyslně rozdělíte na 9 shodných čtverců, z nichž prostřední vyjmete. Zbude vám 8 čtverců, s nimiž pak uděláte to stejné. Rozdělíte na 9 částí a prostřední dáte pryč. Z původního čtvercového koberce o jedné díře uprostřed uděláte tímto způsobem po několika opakováních jemnou krajkovou dečku.
Jenže, co když budete pokračovat dál? Pak, po nekonečně mnoha rekurzích, získáte „koberec“ o nulové ploše. Zajímavé, že?
Popsaný výtvor dostal pojmenování po svém objeviteli. Nazývá se ‘Sierpinského‘ a setkat se s ním můžete i v jiných variantách. Těmi jsou Sierpinského trojúhelník nebo Sierpinského krychle. Ta je takovým velkým/malým ementálem plným pravidelně se opakujících děr. Voilà, fraktální obrazec ve 2D i 3D máme tu.
Život na vlně sinusoidy
Jednou jsi dole, jednou nahoře… notoval si ve známé písni Život je jen náhoda už Werich s Voskovcem. Platí to tak stále. U všech a pořád, byť se zdá realita ve výkladní skříni Instagramu poněkud jiná. Narozením začínáme na nule. Novorozeně, nepopsaný list papíru, startovní číslo nula. Jízda na horské dráze začne posléze. Křivka s pravidelně se opakujícími vrcholy a pády netvoří nic jiného než sinusoidu – jednu z goniometrických funkcí. Souhlasíte?
Matematika v češtině
Víte, že slovní spojení lze definovat matematickým zápisem? Nejen ono známé „plus“ (+) a „minus“ (-), ale také slova jako: kromě, včetně, a, bez, … S nimi můžete rozehrát velkou množinovou hru. Učitel v tělocviku říká: „Chlapci půjdou na pravou stranu a dívky na levou stranu“. Vzniknou dvě množiny: kluků a holek (obě jsou podmnožiny větší množiny s názvem žáci). A tělocvikář pokračuje dál: „Kluci kromě Pavla a Petra rozpaží ruce.“ Z množiny všech chlapců tedy vybereme Petra a Pavla, které oddělíme od ostatních… A tak dále.
Český jazyk je velmi bohatý, a také plný cizích slov. Tím nemáme na mysli vulgarismy, kterými na ulici jeden kastrovaný býk častuje druhého, a jiné podobné. Znáte ale – a používáte – slova s čistě matematickým významem?
Jeden příklad za všechny. Znáte význam slova konvergovat? Jinými slovy je to přibližovat se. Konvergence je sbíhavost. Používá se v běžné mluvě ve smyslu dokonvergovat k rozhodnutí. S výrazem se ovšem setkáváme i v mezinárodních vztazích. Např. v podobě konvergenčních kritérií pro členské státy Evropské unie, známých pod označením Maastrichtská kritéria. Opakem konvergence je divergence. Rozbíhavost.
V psychologii se oba pojmy používají pro označení dvou různých myšlenkových procesů:
- konvergentní myšlení (takové, jehož výsledkem je jedna jediná správná odpověď) a
- divergentní myšlení (kreativní – předkládá několik různých odpovědí; propojuje myšlenky a nabízí nová neotřelá řešení).
Malou ukázkou divergentního myšlení je i tento článek. Odkrývá nové souvislosti a otevírá (možná poněkud netradiční) pohledy. Líbí se vám? Pak si můžeme příště povykládat třeba o limitních úvahách nebo o vztazích oscilujících kolem člověka s určitými osobnostními rysy.
Ať žije matematika kolem nás :-)
